The UnfoldingРазвёртка
Part of the Chaim · Scott · Vladimir Hub (private)Входит в закрытый Chaim · Scott · Vladimir Hub
Fold a wallpaper so every fish lands on one fish: that is its , here a pillow with four corners. Cut it open, lay it flat, and you have a , whose copies fill the plane.Сложите узор так, чтобы все рыбы легли на одну: это его , здесь наволочка с четырьмя углами. Разрежьте её, разверните, и получится , копии которой заполняют всю плоскость.
This cut gives a rectangle. Its generators: two half-turns and a translation.Этот разрез даёт прямоугольник. Образующие: два поворота на 180° и перенос.
Pick a cut, named by its tile, or draw one from corner to corner.Выберите разрез (он назван по своей плитке) или проведите свой, от угла к углу.
Can I cut anywhere?Можно ли резать где угодно?
Almost. On a pillow a cut works when it leaves a tile: one piece holding exactly one fish. It must reach every corner, stay connected and close no loop. Its shape is free: however you draw it, the copies leave no gaps and no overlaps. Try one, then break it:Почти. На наволочке разрез годится, если оставляет плитку: один кусок ровно с одной рыбой. Он должен дойти до каждого угла, не распадаться на части и не замыкать петлю. Форма у него любая: как его ни проведи, копии не оставят щелей и не наложатся друг на друга. Попробуйте, а потом нарушьте правило:
A is a wall: a cut can't cross it. A kaleidoscope like *632 is all mirrors, so its orbifold is already flat: nothing to cut, and its triangle is the only tile in one piece. служит стеной: разрез не может его пересечь. Калейдоскоп вроде *632 состоит из одних зеркал, поэтому его орбифолд уже плоский: резать нечего, а его треугольник и есть единственная плитка из одного куска.
From the cut to the symmetryОт разреза к симметрии
Each lens in the picture is a copy of a pillow corner: a about it lands the pattern on itself. A , the arrow, can do the same. These symmetries sew each side of a tile to another side, or to its own other half. They are the tile's : tap one under the picture.Каждая линза на рисунке изображает копию угла наволочки: вокруг неё совмещает узор сам с собой. То же может сделать , стрелка. Эти симметрии сшивают каждую сторону плитки с другой стороной или с её же второй половиной. Они и есть , которые даёт плитка: нажмите на одну из них под рисунком.
Switch cuts and the fish stay put: the rectangle's two half-turns and a translation become the triangle's three half-turns, and both lists build the same symmetries. The pillow is what stays when you forget the cut, so it names the pattern's group of symmetries: 2222 is this pillow, one digit per corner, 2 for a half-turn.Смените разрез, и рыбы останутся на месте: два поворота на 180° и перенос прямоугольника сменятся тремя поворотами на 180° треугольника, а порождают они одни и те же симметрии. Наволочка и есть то, что остаётся, если забыть о разрезе, поэтому по ней и называют группу симметрий узора. Название 2222 описывает эту наволочку: одна цифра на угол, и цифра 2 значит поворот на 180°.
On the pillow every fish is one fish. Drag the ringed eye and all its copies move together; drop it on another eye, or tap any other fish, and one symmetry carries the tile there.На наволочке все рыбы сливаются в одну. Перетащите глаз, обведённый кольцом, и все его копии двинутся вместе; опустите его на другой глаз или нажмите на другую рыбу, и плитку туда переведёт одна симметрия.
The rule on every orbifoldПравило на любом орбифолде
An orbifold is the plane with every point glued to its copies. Mirrors become its edge; rotation centres off the mirrors become its cone points, and those on a mirror its corners. A cut is a finite graph on it that contains the mirror edge. A mirror is a wall, so a cut stops there. The cut gives a tile exactly when it passes through every cone point and leaves one open disk, the book's flat disk. Every fundamental domain that is one open disk, bounded by finitely many arcs, comes from exactly one such cut.Орбифолд есть плоскость, в которой каждая точка склеена со своими копиями. Зеркала становятся его краем; центры поворотов вне зеркал становятся коническими точками, а центры на зеркалах становятся углами. Разрез есть конечный граф на орбифолде, содержащий зеркальный край. Зеркало служит стеной, поэтому разрез на нём останавливается. Разрез даёт плитку тогда и только тогда, когда проходит через каждую коническую точку и оставляет один открытый диск, плоский диск из книги. Каждая фундаментальная область, которая есть один открытый диск с границей из конечного числа дуг, получается ровно из одного такого разреза.
| SurfaceПоверхность | GroupsГруппы | The cutРазрез |
|---|---|---|
| SphereСфера | 2222, 333, 442, 632 | a tree with every cone point on itдерево, на котором лежат все конические точки |
| Disk with cone pointsДиск с коническими точками | 22*, 2*22, 4*2, 3*3 | the mirror circle, plus trees, each joined to the mirror at one point and holding the cone pointsзеркальная окружность плюс деревья, каждое присоединено к зеркалу в одной точке и содержит конические точки |
| Disk, all cornersДиск, только зеркальные углы | *2222, *442, *333, *632 | the mirror circle aloneодна зеркальная окружность |
| AnnulusКольцо | ** | both mirror circles and one bridgeобе зеркальные окружности и один мостик |
| Möbius bandЛента Мёбиуса | *× | the mirror circle plus an arc with two feet, or a one-sided loop joined to the mirrorзеркальная окружность плюс дуга с двумя основаниями или односторонняя петля, соединённая с зеркалом |
| TorusТор | o | two loops at a point, or a thetaдве петли в одной точке или тета-граф |
| Klein bottleБутылка Клейна | ×× | two loops at a point, a theta, or a dumbbellдве петли в одной точке, тета-граф или гантель |
| Projective planeПроективная плоскость | 22× | one cycle, one-sided, with both cone points on it or joined to itодин цикл, односторонний, обе конические точки на нём или соединены с ним |
The count: , where and count the cut's vertices and edges and is the surface's Euler number, 2 for a sphere. The count alone is not enough on any surface: a closed loop plus a separate slit passes it on a sphere. Ask for one piece as well. Conway, Burgiel and Goodman-Strauss state the rule on pp. 185 and 187.Подсчёт: , где и обозначают числа вершин и рёбер разреза, а обозначает эйлерову характеристику поверхности, равную 2 для сферы. Одного подсчёта мало на любой поверхности: замкнутая петля плюс отдельный надрез проходят его на сфере. Нужно ещё, чтобы остался один кусок. Конвей, Бёрджил и Гудман-Штраус формулируют правило на с. 185 и 187.
Sources and creditsИсточники и благодарности
- J. H. Conway, H. Burgiel, C. Goodman-Strauss, The Symmetries of Things (A K Peters, 2008): ch. 15 for the rule and the counts, pp. 185 to 196; ch. 14, pp. 175 to 177, for cutting paths; pp. 119 to 120 on generators; p. 144 for the pillow squashed flat; p. 177 for the phrase "unfolding the orbifold". The title is from there.Дж. Х. Конвей, Х. Бёрджил, Х. Гудман-Штраус, The Symmetries of Things (A K Peters, 2008): гл. 15, правило и подсчёты, с. 185–196; гл. 14, с. 175–177, пути разреза; с. 119–120 об образующих; с. 144, сплющенная наволочка; с. 177, выражение «unfolding the orbifold». Название страницы оттуда.
- W. P. Thurston, The Geometry and Topology of Three-Manifolds, ch. 13, "A rectangular pillow", p. 298.У. П. Тёрстон, The Geometry and Topology of Three-Manifolds, гл. 13, «A rectangular pillow», с. 298.
- H. Heesch, O. Kienzle, Flächenschluß (1963), through C. S. Kaplan, D. Schattschneider, "Isohedral Tiles, Tilings, and Notations" (2025).Х. Хееш, О. Кинцле, Flächenschluß (1963), по работе К. С. Каплана и Д. Шаттшнайдер «Isohedral Tiles, Tilings, and Notations» (2025).
- Vladimir Bulatov, SymSim: "An orbifold can be cut and flattened." With Chaim Goodman-Strauss, SymmHub. The pillowcase picture of 2222 is his. In SymmHub's tutorial "pillowcase" means a disk with one cone point and one corner; here it means this sealed pillow.Владимир Булатов, SymSim: «An orbifold can be cut and flattened». Вместе с Хаимом Гудманом-Штраусом, SymmHub. Образ наволочки для 2222 принадлежит Владимиру Булатову. В учебнике SymmHub слово «pillowcase» означает диск с одной конической точкой и одним углом; здесь это зашитая наволочка.
- The fish and the butterfly were drawn for this page.Рыба и бабочка нарисованы для этой страницы.
- Side pairings as generators, the proofs and the failed cuts are this page's wording, not the book's.Пары сторон как образующие, доказательства и разрезы, не дающие плитки, описаны здесь своими словами, не как в книге.